Definicja

W algebrze elementarnej i geometrii analitycznej pod pojęciem funkcji liniowej rozumie się funkcję wielomianową stopnia co najwyżej pierwszego (tj. pierwszego stopnia lub funkcję stałą).

Innymi słowy, funkcją liniową nazywamy funkcję postaci f(x) = ax + b, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, (ogólniej można mówić o funkcjach liniowych określonych dla liczb zespolonych).

 

Trzy funkcje liniowe – czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy (a), zaś czerwona i zielona ten sam punkt przecięcia z osią OY (b).

Nazwa pochodzi stąd, że są to dokładnie te funkcje, których wykres na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych jest linią prostą. Dokładniej: dla wykresem funkcji f(x) jest prosta dana równaniem y = ax + b.

Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym (kątowym) wspomnianej prostej. W prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach a interpretujemy jako tangens nachylenia owej prostej do osi OX układu współrzędnych, b to tzw. wyraz wolny, interpretowany jako punkt przecięcia prostej z osią OY układu w punkcie .(0, b)

Własności [edytuj]

Funkcja liniowa f:R jest

• ciągła,
• różniczkowalna, gdyż , f’ = a
• różnowartościowa dla , a nierówne 0
• nieokresowa dla , a nierówne 0
• monotoniczna:
• rosnąca dla a > 0,
• malejąca dla a < 0,
• stała dla a = 0,
• parzysta dla a = 0,
• nieparzysta dla b = 0.

Gdy a=1 b=0, mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem funkcji liniowej – mianowicie funkcja tożsamościową określoną wzorem f(x) = x.

Algebra liniowa

W algebrze liniowej rozpatruje się podobne funkcje, które w celu uniknięcia nieporozumień, nazywa się przekształceniami lub odwzorowaniami.

Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję f(x) = ax określoną na przestrzeni liniowej, z kolei funkcje liniowe f(x) = ax + b noszą nazwę przekształceń afinicznych (określane na przestrzeniach afinicznych).